Перпендикулярные прямые на плоскости: определение и доказательство теоремы

Что такое перпендикулярные прямые, в чём их особые свойства и почему через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр.

  • 15
    .
    10
    .
    2021
  • Время чтения:

    3 минуты

Понятие перпендикулярных прямых

Углы бывают острые, прямые и тупые. 

Углы бывают острые, прямые и тупые
Виды углов

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым

Два угла с одной общей стороной называются смежными.  

Два угла с одной общей стороной называются смежными

На рисунке луч ОС делит развёрнутый AOB =180° на две части, образуя тупой 1 и острый 2.

∡1 + ∡2 = 180° 

Сумма смежных углов составляет 180°. 

<<Форма демодоступа>>

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

Если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла

Обе стороны 1 также являются сторонами 3, а стороны 2 продолжают стороны 4. Такие углы называют вертикальными.  

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Вертикальные углы равны.  
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
Две перпендикулярные прямые
Две перпендикулярные прямые

1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!  

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну. 

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно. 

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а

Теорема о перпендикулярных прямых

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и  ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
Свойство перпендикулярных прямых

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Бесплатный доступ к занятиям в Домашней школе
Вы получите записи уроков по нескольким предметам, познакомитесь с учителями и попробуете решить домашнее задание
Начать бесплатно
Бесплатный гайд: как перейти на семейное образование
Рассказываем, как забрать документы из обычной школы и перейти на домашнее обучение с онлайн-аттестацией
Отправили гайд вам на почту
Вы можете начать читать в браузере и вернуться в любой момент — гайд всегда будет у вас на почте
Открыть гайд
Oops! Something went wrong while submitting the form.
Ответим на ваши вопросы

Свяжемся с вами в течение 5 минут и проведём бесплатную консультацию по вопросам перехода на домашнее обучение

ошибка номера, введите правильный номер
Позвоним с 8 до 19 в рабочие дни
Скоро перезвоним!

Или напишем на почту, если не получится дозвониться

Oops! Something went wrong while submitting the form.
Первое письмо скоро будет у вас на почте
Упс :( Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Реальный опыт семейного обучения

No items found.

Демодоступ

Учиться бесплатно

Учиться бесплатно

Попробуй бесплатно наш формат обучения!

Попробовать

Учиться бесплатно

Попробуйте бесплатно наш формат обучения

Ваша заявка принята
Ой! Что-то пошло не так.

Чтобы получить демодоступ, нужен аккаунт в «Фоксфорде»

Кнопка ниже направит вас на форму регистрации и затем вернёт сюда. Регистрация бесплатная, можно в один клик через соцсеть.

Войти или зарегистрироваться