Перпендикулярные прямые на плоскости: определение и доказательство теоремы

Понятие перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые — это две прямые одной плоскости, которые пересекаются под углом 90° и образуют 4 прямых угла.

Начнём с самого начала — углы бывают острые, прямые и тупые. 

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым. Два угла с одной общей стороной называются смежными.  

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2. Сумма смежных углов составляет 180°.

<<Форма демодоступа>>

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым:

180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла.

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.  

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:

∡1 + ∡2 = 180°

∡1 + ∡4 = 180°

∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3. Вертикальные углы равны.  

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b.

<<Форма семейного образования>> 

Как построить перпендикулярные прямые

Разберём несколько доступных способов построить перпендикулярные прямые.

<<Сноска | Разбираемся в решении линейных уравнениях раз и навсегда | https://externat.foxford.ru/polezno-znat/wiki-algebra-metody-resheniya-sistem-linejnyh-uravnenij>>

Построение перпендикулярных прямых при помощи транспортира

Инструменты: транспортир, линейка, карандаш, бумага

1. Сначала проведите прямую линию — это будет прямая a.
2. Выберите любую точку на этой прямой. Обозначим её как O. Именно из этой точки мы будем строить перпендикуляр.
3. Поместите центр транспортира точно на точку O.
4. Совместите основание транспортира (линию 0–180°) с прямой a.
5. На шкале транспортира отметьте точку, соответствующую 90° от прямой.
6. Поставьте точку в направлении 90° от точки O. Пусть это будет точка B.
7. Соедините с помощью линейки точку O с новой точкой B — получится вторая прямая.
8. Вы получили две перпендикулярные прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°).

Построение перпендикулярных прямых при помощи угольника

Инструменты: угольник, линейка, карандаш, бумага

1. Проведите прямую линию с помощью линейки — это будет прямая a.
2. Отметьте точку O на прямой a — из этой точки будет выходить перпендикулярная прямая.
3. Поставьте угольник так, чтобы один его катет (прямая сторона) совпадал с прямой a.
4. Убедитесь, что вершина прямого угла точно совпадает с точкой O.
5. По другому катету угольника проведите линию, начиная из точки O новую точку B.
6. Эта линия будет перпендикулярна исходной прямой, поскольку построена под прямым углом (90°).

<<Сноска | Перечневые олимпиады для школьников | https://externat.foxford.ru/polezno-znat/7-populyarnyh-perechnevyh-olimpiad-dlya-shkolnikov>>

Построение перпендикулярных прямых при помощи циркуля

Инструменты: циркуль, линейка, карандаш, бумага

1. Проведите прямую линию с помощью линейки — это будет прямая a.
2. Отметьте точку O на прямой a — из этой точки будет выходить перпендикулярная прямая.
3. Поставьте иглу циркуля в точку O.
4. Нарисуйте дугу, пересекающую прямую a в двух точках.
5. Обозначим их как B и C. Они должны быть по разные стороны от точки O на одинаковом расстоянии.
6. Не меняя радиус циркуля, поставьте иглу в точку B и нарисуйте дугу выше прямой.
7. Перенесите иглу в точку C и нарисуйте такую же дугу.
8. Эти две дуги пересекутся в точке D — она будет расположена строго над точкой O.
9. Соедините точки O и D прямой линией.
10. Линия OD будет перпендикулярна прямой a и проходить через заданную точку O.

Теорема о перпендикулярных прямых

Теорема о перпендикулярных прямых звучит следующим образом:

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну. Это свойство — единственность перпендикуляра в данной точке — лежит в основе многих построений и доказательств в геометрии.

<<Сноска | Математическое мышление: в чём польза и как развить | https://externat.foxford.ru/polezno-znat/matematicheskoe-myshlenie>>

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых от противного, то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Подписывайтесь на телеграм-канал Домашней школы Фоксфорда — здесь мы каждый день публикуем полезные посты о лайфхаках обучения, тайм-менеджменте, развитии и поддержке школьников, а ещё делимся бесплатными материалами и шпаргалками. 

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а. 

‍

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и  ∡BOA равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

<<Баннер | Летний клуб Фоксфорда. Онлайн-занятия и розыгрыш обучения в Домашней школе | https://holidays.foxford.ru/>>

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются

Пусть a⟂b и a⟂c. Прямые b и сне пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

<<Сноска | Как эффективно запоминать информацию и ничего не забывать | https://externat.foxford.ru/polezno-znat/kak-nauchitsya-luchshe-zapominat-informaciyu-i-nichego-ne-zabyvat>>

Использование знания о перпендикулярных прямых 

1. Математика и геометрия. Знание о перпендикулярности помогает решать множество задач. Например, построение высоты треугольника.
2. Строительство и архитектура. Без соблюдения перпендикулярности невозможно спроектировать устойчивые конструкции.
3. Чертёж и техническая графика. Перпендикулярные линии применяются для построения оси координат, разметки деталей, границ объектов.
4. Картография и навигация. В морской и авиационной навигации понятие перпендикулярного курса важно для точных поворотов и расчётов маршрута.
5. Программирование и компьютерная графика. Расчёты тени, света и отражений в 3D-графике используют векторы, которые могут быть перпендикулярными.
6. Повседневные задачи. Например, развешивание полок или укладка плитки.