Перпендикулярные прямые на плоскости: определение и доказательство теоремы
Что такое перпендикулярные прямые, в чём их особые свойства и почему через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645ae7f820ba862cf74a4f6_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B8%20%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B.png)
- 20.5.2024
- Время чтения:5 минут
Понятие перпендикулярных прямых
Углы бывают острые, прямые и тупые.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645aeb29ff6907baccd2de8_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_1.png)
Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым. Два угла с одной общей стороной называются смежными.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645aedc988e8a0040b85d18_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_2.png)
На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2. Сумма смежных углов составляет 180°.
<<Форма демодоступа>>
Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645af26c74c68cfd2424999_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_3.png)
При пересечении двух прямых образуются четыре угла.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645af3fff247b9c321d8d78_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_4.png)
Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.
∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4
То же справедливо и для ∡1 и ∡3.
Вертикальные углы равны.
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645afa2fa509336aec949bb_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_5.png)
∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.
Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b.
<<Форма семейного образования>>
Теорема о перпендикулярных прямых
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых от противного, то есть для начала предположим, что утверждение неверно.
Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645b02b46066a0bf3ab1898_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_6.png)
Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.
Свойство перпендикулярных прямых
Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/599873abab717100012c91ea/6645b04ee44b487ed71207f4_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5_6-1.png)
Пусть a⟂b и a⟂c.Прямые b и сне пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.
Или напишем на почту, если не получится дозвониться
![](https://assets-webflow.ngcdn.ru/cdn.prod/5992f848f97d3700011413c4/64dc7d0332a2514bd5a30d64_Frame%2048097349%20(1).png)