Перпендикулярные прямые на плоскости: определение и доказательство теоремы

Что такое перпендикулярные прямые, в чём их особые свойства и почему через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр.

  • 02
    .
    06
    .
    2021
  • Время чтения:

    3 минуты

Понятие перпендикулярных прямых

Углы бывают острые, прямые и тупые. 

Виды углов

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым

Два угла с одной общей стороной называются смежными.  

На рисунке луч ОС делит развёрнутый AOB =180° на две части, образуя тупой 1 и острый 2.

∡1 + ∡2 = 180° 

Сумма смежных углов составляет 180°. 

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны 1 также являются сторонами 3, а стороны 2 продолжают стороны 4. Такие углы называют вертикальными.  

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Вертикальные углы равны.  
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
Две перпендикулярные прямые

1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM2020 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!  

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну. 

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно. 

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и  ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Углубите ваши знания!

Эту и другие темы по математике вы можете изучить на наших курсах и на математическом индивидуальном образовательном маршруте. Оставьте свои данные и получите бесплатную консультацию
Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.
Упс :( Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Реальный опыт семейного обучения

No items found.
Свяжитесь со мной!

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Записали!

Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.

Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.
Ой! Что-то пошло не так.
Возраст

Демодоступ

Учиться бесплатно

Учиться бесплатно

Попробуй бесплатно наш формат обучения!

Попробовать