Что такое математический маятник
В физике под маятником понимают любую систему, способную совершать колебания вокруг положения равновесия.
Это могут быть реальные конструкции, например маятник напольных часов (физический маятник) или груз на пружине (пружинный маятник). Но чтобы понять общие законы колебаний, учёные используют идеализированные модели. Математический маятник — одна из них. Это не реальный прибор, а абстракция. Она позволяет отбросить второстепенные детали и увидеть суть периодического движения в чистом виде.
Из чего состоит математический маятник
Модель математического маятника представляет собой материальную точку на конце невесомой и нерастяжимой нити или стержня в однородном поле тяжести.
Материальная точка — это физическая модель тела, размерами, формой и объёмом которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи.
Мы игнорируем эти характеристики, чтобы исключить возможное вращение или сложное распределение массы. Эти процессы нас не интересуют, поскольку мы изучаем один тип движения — колебательное смещение по дуге окружности.
Невесомая и нерастяжимая нить или стержень — это линия, которая задаёт строго фиксированное расстояние от точки подвеса до материальной точки. Она не обладает инерцией и не меняет свою длину.
Однородное поле силы тяжести означает, что сила гравитации постоянна по модулю и неизменно направлена вертикально вниз — независимо от того, в какой точке своей дуги находится маятник.
Характеристики маятника
Амплитуда — это максимальное отклонение маятника от положения равновесия, его размах.
В зависимости от способа измерения амплитуда может быть:
- линейной (x₀) — максимальное расстояние, которое груз проходит вдоль дуги от точки равновесия, измеряется в метрах;
- угловой (θ₀) — максимальный угол отклонения нити от вертикали, измеряется в градусах или в радианах.
Эти величины связаны формулой:
x₀ = l (длина нити) × θ₀
Период (T) — это время, за которое маятник совершает одно полное колебание. Например, путь от крайнего правого положения обратно в эту же точку. Для углов отклонения до 20–25° период определяют по формуле:
T = 2π√(l / g), где
- l — длина нити;
- g — ускорение свободного падения.
Частота (ν или f) — это величина, обратная периоду (f = 1/T).
Она показывает, сколько полных колебаний маятник совершает за одну секунду, то есть задаёт темп его движения. Частота измеряется в герцах (Гц).
Период и соответствующая ему частота определяют неизменный ритм колебательной системы. Амплитуда характеризует интенсивность колебаний и может меняться со временем, например из-за трения.
Свойство изохронности
Для математического маятника при малых углах период зависит только от длины нити и силы тяжести, но не от амплитуды.
Это значит, что, если немного отклонить его (например, на 15°), он всё равно будет совершать полный взмах за одно и то же время. Это свойство называется изохронностью. Его открыл Галилео Галилей в конце XVI века. Оно справедливо для гармонических колебаний — идеально регулярных и предсказуемых. Независимость периода от размаха сделала маятник лучшей основой для точных часов. Часы с маятником будут идти одинаково ровно, даже если их амплитуда колебаний со временем немного уменьшится.
При больших углах отклонения маятник становится неизохронным — его период растёт с увеличением амплитуды. Для точных инженерных расчётов в таких случаях используют сложные математические модели, которые включают специальные функции — эллиптические интегралы.
Движение маятника
Если отклонить маятник из положения равновесия и отпустить, он начнёт совершать свободные колебания. Они происходят в одной вертикальной плоскости. Боковые силы в математической модели не учитываются. Траектория материальной точки — это всегда дуга окружности, которая лежит в этой вертикальной плоскости.
Какие силы действуют на маятник
На движение груза действуют две основные силы.
- Тангенциальная составляющая силы тяжести, которая направлена по касательной к дугообразной траектории маятника. Именно эта составляющая отвечает за изменение скорости тела, то есть за его ускорение или замедление вдоль траектории. Простыми словами, она тянет груз обратно к положению равновесия. Чем сильнее отклонён маятник, тем больше эта возвращающая сила.
- Сила натяжения нити, которая зависит от угла наклона поверхности или направления движения. Она не ускоряет и не замедляет движение по дуге, а только заставляет груз двигаться по окружности и постоянно меняет направление его скорости. Сила натяжения нити всегда направлена к точке подвеса.
Преобразование энергии при движении
Качание маятника — наглядная демонстрация закона сохранения механической энергии. Разберёмся, какие виды энергии участвуют в процессе.
- Потенциальная — энергия, которой тело обладает в силу своего положения в гравитационном поле или из-за особенностей расположения взаимодействующих тел. Чем выше поднят груз маятника относительно самой низкой точки его траектории, тем больше его потенциальная энергия.
- Кинетическая — это энергия движения, которая зависит от массы и скорости груза. Чем быстрее движется груз, тем больше его кинетическая энергия.
В крайних точках траектории маятник на мгновение останавливается. В эти моменты его кинетическая энергия минимальна (равна нулю), а потенциальная максимальна. Когда груз движется к положению равновесия, потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Пролетая нижнюю точку с самой высокой скоростью, маятник обладает максимальной кинетической энергией и минимальной потенциальной энергией. Затем он поднимается вверх и снова замедляется. Кинетическая энергия преобразуется обратно в потенциальную, поднимая груз на прежнюю высоту.
В идеальной модели этот процесс продолжался бы вечно, так как полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) оставалась бы неизменной. В реальности это невозможно, так как сопротивление воздуха и трение в точке подвеса непрерывно совершают отрицательную работу. Эти силы забирают механическую энергию у системы и рассеивают её в виде тепла.
Уравнение колебаний маятника
Движение маятника подчиняется второму закону Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на него, и обратно пропорционально его массе. В общем виде формула закона выглядит так:
F = m × a, где
- F — сила, приложенная к телу;
- m — масса тела;
- a — ускорение тела.
В нашем случае важно тангенциальное ускорение — aτ. Оно направлено вдоль дуги, по которой движется груз. Его можно определить по формуле:
aτ = l × α, где
- l — длина нити;
- α — угловое ускорение.
Угловое ускорение α — это вторая производная угла по времени, которая описывается формулой:
α = d²θ / dt², где
- d — математический символ, обозначающий бесконечно малое изменение;
- θ — угол отклонения маятника от вертикали в данный момент;
- t — время.
Возвращающая сила заставляет маятник стремиться к равновесию. Её можно определить по формуле:
F = –mg × sin θ, где
- θ — угол отклонения от вертикали.
Знак минус показывает, что сила всегда направлена против смещения.
В итоге получаем:
m × l × d²θ / dt² = –mg × sin θ.
После сокращения на m и l приходим к классическому дифференциальному уравнению математического маятника:
d²θ / dt² + (g / l) × sin θ = 0.
Практическое применение модели
Хотя маятник наглядно демонстрирует принцип преобразования энергии между кинетической и потенциальной формами, это не только учебный пример. Формула его периода лежит в основе гравиметрии — науки об измерении величин, которые характеризуют гравитационное поле Земли и других небесных тел. Например, зная длину маятника (l) и точно измерив период (T), можно вычислить ускорение свободного падения (g) в любой точке Земли — на полюсах, экваторе, горах или в шахтах. Локальные аномалии g могут указывать на наличие полезных ископаемых или пустот под землёй.
Математический маятник — отправная точка для анализа любых периодических процессов. Например, колебаний молекул в кристаллической решётке твёрдых тел или переменного тока в электрических цепях. Даже движение небесных тел по эллиптическим орбитам можно рассматривать как маятниковое. В точке наибольшего удаления от Солнца тело подобно маятнику в крайнем положении — его потенциальная энергия максимальна, а скорость и кинетическая энергия минимальны. Под действием гравитации тело устремляется к центральному светилу — потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. В точке наибольшего сближения с Солнцем ситуация обратная — максимум кинетической энергии позволяет планете преодолевать тяготение и снова удаляться.
В 1656 году Христиан Гюйгенс изобрёл маятниковые часы, которые совершили революцию в точности измерения времени. До середины XVII века не существовало природного эталона, который мог бы задавать механизму строгий ритм. Солнечные часы были бесполезны ночью и в пасмурную погоду, песочные требовали постоянного переворачивания, а все другие приспособления могли отставать или убегать на 15–30 минут в сутки. Регулярные колебания маятника стали первым в истории надёжным и естественным метрономом — прибором, задающим неизменный ритм. Свойство изохронности превратило часы из символического или бытового механизма в научный инструмент, что открыло новую эру для навигации, астрономии и точных наук.
Математический маятник — классическая модель в физике, которая наглядно иллюстрирует принципы механики и позволяет понять основы периодического движения. Она не только раскрывает фундаментальные законы природы, но и служит основой для изучения самых разных явлений — от колебаний мостов и электрических цепей до распространения звука и света.
Ответим на ваши вопросы
Свяжемся с вами в течение 5 минут и проведём бесплатную консультацию по вопросам перехода на домашнее обучение
Позвоним с 8 до 21 в рабочие дни
