• Главная
  • Блог
  • Разбираемся в решении линейных уравнениях раз и навсегда

Разбираемся в решении линейных уравнениях раз и навсегда

Одной из наиболее важных тем курса алгебры является решение систем линейных уравнений. Давайте узнаем, как научиться с ними расправляться разными методами.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений

Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе, но системы такого уровня рассматриваются в старшей школе. В данной статье речь пойдёт о системах двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными. Вот несколько методов решения систем линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм достаточно прост и заключается в следующем:

  1. одна переменная из одного линейного уравнения выражается через другую переменную;
  2. выраженная переменная подставляется в другое уравнение системы;
  3. полученное уравнение, содержащее только одну переменную, решается относительно этой переменной;
  4. значение переменной, полученное в пункте 3, подставляется в выражение для другой (первой) переменной (см. пункт 1).

Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:

Пример системы линейных алгебраических уравнений с двумя переменными

Согласно первому пункту алгоритма решения СЛАУ нужно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить переменную y через переменную x:

Из второго уравнения системы выражаем переменную y через переменную x

Далее подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы. Получим: 

Подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы

Тогда можно записать систему уравнений, равносильную первой:

Запишем систему уравнений, равносильную первой

 Раскроем скобки и приведём первое уравнение системы к следующему виду:

Приведём первое уравнение системы к следующему виду

от куда 

Получаем значение переменной x

Теперь найдём значение y, подставив значение переменной x в выражение для второй переменной:

Подставим значение переменной x в выражение для второй переменной
Получаем значение переменной y

Применив данный метод к рассматриваемой системе линейных уравнений, мы нашли пару чисел (7;3), являющуюся её решением.

<<Форма демодоступа>>

Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе уравнений, алгоритм метода достаточно простой:

  1. все уравнения системы почленно умножаются на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (если коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то сразу можно переходить к пункту 2);
  2. правая и левая части каждого уравнения почленно складываются, получается уравнение с одной переменной;
  3. полученное уравнение решается относительно единственной переменной;
  4. значение найденной переменной подставляется в одно из исходных уравнений системы, далее определяется значение второй переменной.

В качестве примера решим систему уравнений:  

Пример системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

методом почленного сложения (вычитания). Здесь будет достаточно просто «избавиться» от переменной y. Для этого почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2: 

Почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2

получим равносильную систему уравнений:

Решение системы линейных уравнений

Теперь прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, а к правой части первого уравнения — правую часть второго. В итоге получим уравнение вида:

Получим уравнение вида

Решим это уравнение относительно единственной переменной:

Получаем значение переменной x

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы и найдём значение y

Найдём значение y

Итак, пара чисел (4;3) является решением системы линейных уравнений с двумя переменными. Данное решение было получено методом сложения.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.

Определение

Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:

Определитель системы

Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:

Формула для нахождения определителя СЛАУ

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ. Например, у рассмотренной выше системы уравнений:

Рассмотрим систему уравнений

главный определитель будет иметь вид:

Главный определитель будет иметь вид

Найдём его значение:

Значение главного определителя

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

Вспомогательные определители

Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными: 

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях, когда Δ ≠ 0.

Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:

Как решить систему линейных уравнений

Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.

Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений: 

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Нужно: 

  1. Вычислить главный определитель системы
Формула для вычисления главного определителя системы
  1. Вычислить вспомогательные определители
  1. Применить формулы Крамера и найти решение системы:
Формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при переменных. Так, для системы вида: 

Система линейных уравнений в общем виде

матрицей A является:

Матрица A

Столбцом свободных коэффициентов будем называть

Столбец свободных коэффициентов

а столбцом переменных —

Столбец переменных

Тогда систему уравнений можно переписать в виде:

Поясним, как происходит умножение матрицы на столбец. В матрице A есть строки: (а₁₁, а₁₂) и (а₂₁, а₂₂) а также столбцы (а₁₁, а₂₁) и (а₁₂, а₂₂).

При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение происходит по следующему правилу:

Умножение происходит по следующему правилу

Для нахождения обратной матрицы, которая обозначается как А⁻¹ , нам потребуется умение находить определитель матрицы, что подробно описано в разделе «Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера», и умение находить транспонированную матрицу T. Для того чтобы записать матрицу, транспонированную к данной, нужно лишь поменять столбцы и строки местами. Например, для матрицы A транспонированной будет матрица: 

Транспонированная матрица

Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:

1) вычислить определитель матрицы A:

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в матрице A следующим образом:

Матрица для решения линейных уравнений

3) записать матрицу алгебраических дополнений А  ͙. Для этого необходимо лишь поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего получим:

Матрица алгебраических дополнений

записать матрицу, транспонированную к матрице алгебраических дополнений:

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

найти обратную матрицу А⁻¹, разделив каждый элемент матрицы Аᵀ ͙ на значение определителя матрицы A, то есть

Обратная матрица

Для нахождения неизвестных нужно полученную обратную матрицу А⁻¹ умножить на столбец свободных коэффициентов:

Нахождение неизвестных

Поясним всё на примере решения системы линейных уравнений с двумя переменными:

Пример решения системы линейных уравнений с двумя переменными

Матрица системы:

Матрица системы

столбец свободных коэффициентов:

Столбец свободных коэффициентов

Следуя алгоритму решения СЛАУ, найдём обратную матрицу А⁻¹:


1) определитель матрицы A равен

Определитель матрицы A

2) матрица миноров:

Матрица миноров

3) матрица алгебраических дополнений:

Матрица алгебраических дополнений

4) матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений:

Матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений

5) обратная матрица:

Обратная матрица

Теперь умножим найденную обратную матрицу на столбец свободных коэффициентов:

Решение данной системы уравнений

Пара чисел (1;2) является решением данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных уравнений? Рассмотрим этот способ на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными. 

На первом этапе решения систему уравнений необходимо привести к трапециевидной форме, которая выглядит следующим образом:

Общий вид СЛАУ для решения методом Гаусса

Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на число.

Применим данный метод к системе линейных уравнений с тремя переменными:

Пример системы линейных уравнений с тремя переменными

Расширенная матрица A данной системы принимает вид:

Расширенная матрица A

Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке — нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на третьем месте).

Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется только один ноль:

Преобразование строк расширенной матрицы

С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: 

Система уравнений, соответствующая полученной расширенной матрице

С другой стороны, следуя алгоритму решения системы уравнений, необходимо вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в последней строке матрицы:

Дальнейшее преобразование матрицы

Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:

Пример системы линейных алгебраических уравнений

Теперь реализуем обратный ход метода Гаусса: из третьего уравнения системы определим z = 3 , из второго — y = 2. Далее используем метод подстановки и определим значение x:

Определяем значение x методом подстановки

Итак, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.

Заключение

В этой статье мы разобрали следующие основные способы решения систем линейных уравнений:

  • метод подстановки, или «школьный метод», 
  • метод почленного сложения или вычитания, 
  • метод Крамера, 
  • решение с помощью обратной матрицы, 
  • метод Гаусса. 

Надеемся, что теперь вы сможете без труда справиться с любым линейным уравнением.

Ответим на ваши вопросы

Свяжемся с вами в течение 5 минут и проведём бесплатную консультацию по вопросам перехода на домашнее обучение

ошибка номера, введите правильный номер
Позвоним с 8 до 19 в рабочие дни
Скоро перезвоним!

Или напишем на почту, если не получится дозвониться

Oops! Something went wrong while submitting the form.
Бесплатный гайд: как перейти на семейное образование
Рассказываем, как забрать документы из обычной школы и перейти на домашнее обучение с онлайн-аттестацией
ошибка номера, введите правильный номер
Отправили гайд вам на почту
Вы можете начать читать в браузере и вернуться в любой момент — гайд всегда будет у вас на почте
Открыть гайд
Oops! Something went wrong while submitting the form.
Бесплатный доступ к занятиям в Домашней школе
Вы получите записи уроков по нескольким предметам, познакомитесь с учителями и попробуете решить домашнее задание
Начать бесплатно
1 из 8 вопросов
Следующий вопрос
Спасибо за ответы!

Реальный опыт семейного обучения

Нет подходящих статей

Демодоступ

Учиться бесплатно

Учиться бесплатно

Попробуй бесплатно наш формат обучения!

Попробовать

Учиться бесплатно

Попробуйте бесплатно наш формат обучения

Ваша заявка принята
Ой! Что-то пошло не так.

Чтобы получить демодоступ, нужен аккаунт в «Фоксфорде»

Кнопка ниже направит вас на форму регистрации и затем вернёт сюда. Регистрация бесплатная, можно в один клик через соцсеть.

Войти или зарегистрироваться
Адрес скопирован