Что такое математическое выражение
Математические выражения — это записи, которые могут содержать числа, буквы и обозначения, например знаки равенства, сложения, вычитания и других действий.
Принцип составления математических выражений подчиняется строгой логике и принятым в математике правилам. С их помощью записывают вычисления, уравнения, формулы. Чтобы поставить или решить математическую задачу, нужно использовать выражения.
Составляющие математического выражения
В зависимости от состава математические выражения делятся на числовые и алгебраические.
Числовые выражения
Числовые выражения могут содержать:
- числа;
- обозначения действий, знаки сложения, вычитания, умножения, деления;
- скобки.
Числовые выражения используются для записи вычислений без переменных.
Чтобы правильно решить математическое выражение, нужно соблюдать порядок действий:
- действия внутри скобок;
- возведение в степень;
- умножение и деление;
- сложение и вычитание.
Сложение выполняется в любом удобном порядке.
Например, 17 + 21 + 3 = 17 + 3 + 21. Складывать в таком порядке проще: мы получим 20 + 21 = 41.
Вычитание чаще выполняют слева направо, но можно менять порядок вычитаемых чисел, если так будет удобнее.
Например, 68 – 23 – 7 – 18 = 68 – 18 – 7 – 23. Считать в этом порядке проще: 50 – 7 – 23 = 43 – 23 = 20.
Если в записи есть операции умножения или деления, их выполняют первыми и только после этого переходят к вычитанию и сложению.
Например, 15 + 225 : 15 – 14 = 15 + 15 – 14 = 8.
Если операций умножения или деления несколько, их выполняют последовательно слева направо.
В записях часто используются скобки. Действия внутри них выполняют в первую очередь.
Например, (15 + 225) : 15 – 14 = 240 : 15 – 14 = 16 – 14 = 2.
По последним двум примерам видно, как использование скобок меняет значение выражения.
Если запись содержит степень, то сначала выполняют действия внутри скобок, затем возведение в степень и после все остальные действия в стандартном порядке.
Например, (4 + 2)3 : 3 + 4 × 7 = 63 : 3 + 4 × 7 = 216 : 3 + 4 × 7 = 72 + 28 = 100.
Алгебраические выражения
Алгебраические выражения, кроме цифр, обозначений действий и скобок, могут содержать буквы — переменные.
Если в записи появляются буквы, порядок основных действий не меняется, но при решении добавляется несколько особенностей.
Работу с записью, которая содержит переменную, начинают с поиска области допустимых значений. В ней содержатся все возможные значения переменной, при которых у выражения есть смысл. Если при каких-либо значениях смысла нет, их исключают. Чтобы найти такие значения, обращайте внимание на два действия: деление и извлечение квадратного корня.
Если в записи есть дробь и переменная оказывается в её знаменателе, такие её значения, при которых он будет равным нулю, нужно исключить. Делить на ноль нельзя.
Если в записи есть квадратный корень, а переменная находится в подкоренном выражении, исключите такие её значения, которые делают подкоренное выражение отрицательным. Извлекать квадратный корень из отрицательных чисел нельзя.
Записи, которые содержат переменные, можно упрощать, и для этого используют несколько способов.
- Приведение подобных членов: подобные члены, например числа или одинаковые переменные в одной степени, выделяют и выполняют действия с ними.
Например, 7 × (21 – 3) : 9 – 16х – (3 × 5)х + 4х2 = 7 × 18 : 9 – 16х – 15х + 4х2 = 14 – 31х + 4х2.
В этом примере x и x2 имеют разные степени и поэтому не являются подобными членами.
- Вынесение общего множителя за скобки: ищут наибольший общий множитель для всех членов в записи и выносят его.
Например, (4х + 56) : 2 = 4(х + 14) : 2 = 2(x + 14).
- Обособление переменной в равенствах: их переписывают так, чтобы найти выражение, равное переменной.
Например, 14x – 49 = 27x : 3 – 14 можно преобразовать в 14x – 27x : 3 = 49 – 14, а затем упростить: 14x – 9x = 35, или 5x = 35, или x = 35 : 5 = 7.
Примеры математических выражений
Числовые выражения содержат только числа.
Простые:
- 14 + 7;
- 28 : 4 + 11;
- (16 × 2)2.
Сложные:
- √(3 × 8 + 57) : 3;
- 152 : √(324 : 4);
- √(48 : 64 × 2 – 73 + 52).
В сложных записях много членов, нужно внимательно определять порядок действий и выполнять громоздкие вычисления.
Когда в выражении появляются буквенные обозначения, его называют алгебраическим. Это может быть одна переменная:
- (x + 14) × 7;
- 8y – 325;
- 2b + (b + 3)2.
Запись может содержать две или больше переменных:
- 2x + 7y + b;
- (x + 3y) × a;
- 14c + √(x + y).
Кроме переменных величин, в записи могут быть и постоянные — константы, которые тоже обозначаются буквами. Самые известные — число пи, или π, приблизительно равное 3,14159, и число Эйлера, или e, приблизительно равное 2,71828.
Как составлять и записывать математические выражения
- Запись выполняют на строке слева направо. Для этого выбирают нужные числа, переменные, знаки действий, скобки.
- Чтобы правильно найти значение математического выражения, учитывают порядок действий. В первую очередь возводят в степень и извлекают корень, затем умножают и делят, в конце складывают и вычитают.
- Если какие-то действия нужно обособить, их заключают в скобки.
- Чтобы преобразовать математическое выражение, можно выполнять вычисления и применять любые подходящие способы преобразования, например приведение подобных членов, вынесение множителей (или делителей) за скобки.
- Упрощение математических выражений выполняют так, чтобы значение не изменялось. Такие преобразования называют тождественными.
Тождественные преобразования — основа математики, и на них строится решение любых задач, от самых простых до очень сложных.
Ответим на ваши вопросы
Свяжемся с вами в течение 5 минут и проведём бесплатную консультацию по вопросам перехода на домашнее обучение
Позвоним с 8 до 21 в рабочие дни
