Перевод чисел между системами счисления: полное пособие

Правила перевода чисел из любой системы счисления в двоичную

Перевод в двоичную систему всегда сводится к одной идее: превратить число в десятичное, а затем представить его в виде суммы степеней двойки.

Но, строго говоря, перевод можно делать напрямую — без промежуточной десятичной формы. Разберём оба способа, чтобы было понятно, что работает в любых позиционных системах с основанием больше 2.

Бесплатно

Кто крыса в треугольнике: 5 мнемотехник, чтобы запомнить сложные школьные правила

1. Универсальный подход: перевод через десятичную систему

Это самый понятный метод. Его чаще всего используют в учебниках и на практике. Шаги такие:

1. Преобразовать исходное число в десятичное.
   Для этого каждая цифра умножается на основание исходной системы, возведённое в степень разряда.
   Пример: 3A₁₆ = 3 × 16¹ + 10 × 16⁰ = 48 + 10 = 58.

2. Перевести полученное десятичное число в двоичное.
   Это делается обычным делением на 2 с фиксацией остатков.
   Пример: 58₁₀ → 111010₂.

Метод работает для любой системы: восьмеричной, шестнадцатеричной, пятеричной.

2. Прямой перевод в двоичную систему (без промежуточного десятичного шага)

Этот способ ускоряет процесс, когда основание новой системы удобно раскладывается в степени двойки. Подходит, если исходная система имеет основание вида:

• 4 (2²);
• 8 (2³);
• 16 (2⁴);
• 32 (2⁵).

Тогда можно просто заменить каждую цифру её двоичным эквивалентом фиксированной длины.

Пример:

• восьмеричная цифра 7 → 111 (3 бита);
• шестнадцатеричная цифра A → 1010 (4 бита).

Так переводят, например, из восьмеричной в двоичную:

53₈ → 5 = 101, 3 = 011 → 101011₂

Или из шестнадцатеричной в двоичную:

2F₁₆ → 2 = 0010, F = 1111 → 00101111₂

Читайте также:

Пирамида обучения: как запомнить что-то раз и навсегда

3. Перевод из систем, где основание не связано с двойкой

Если основание — 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12 и так далее, прямой перевод через блоки невозможен.

Здесь всегда нужен универсальный путь: сначала перевести число в десятичную форму, затем — в двоичную.

Возьмём число 132₅. Пятеричная система не связана с двойкой, поэтому прямой побитовый перевод невозможен — сначала нужно перейти в десятичную.

1 × 5² + 3 × 5¹ + 2 × 5⁰ = 25 + 15 + 2 = 42₁₀

Теперь переводим 42 в двоичную систему:

42₁₀ = 101010₂

Итог:

132₅ → 42₁₀ → 101010₂

Это не ограничение, а свойство степенных систем: у таких оснований нет удобного битового представления фиксированной длины.

Важно учитывать несколько принципов, которые позволяют избежать ошибок при переводе чисел в двоичную систему. Если исходная система позиционная, то её запись всегда переводится однозначно: каждая цифра имеет строго определённое значение, зависящее от разряда и основания. 

Непозиционные системы — вроде римской или египетской — так не работают, поэтому перед переводом нужно сначала интерпретировать символы и получить обычное числовое значение, а уже потом переводить его в двоичную форму. 

Ещё один момент, который нередко удивляет новичков: при переходе в двоичную систему запись почти всегда становится длиннее.

Это нормально — информация в двоичной системе передаётся меньшим количеством символов, значит, для представления того же числа потребуется больше цифр.

Бесплатный доступ к занятиям в Домашней школе

Вы получите записи уроков по нескольким предметам, познакомитесь с учителями и попробуете решить домашнее задание

Начать бесплатно Загрузка...

Правила перевода чисел в десятичную систему счисления

Перевод в десятичную систему проще всего понять, если помнить, что любое позиционное число — это сумма цифр, умноженных на степени основания. Основание показывает, во сколько раз каждый следующий разряд крупнее предыдущего. Поэтому алгоритм для любой позиционной системы всегда один: разложить число по разрядам и сложить результаты.

Например, в записи 314₆​ каждая цифра имеет своё место и вес:

• 3 — это количество шестёрок в квадрате;
• 1 — количество шестёрок в первой степени;
• 4 — количество единиц.

Запись в десятичной форме получается так:

3 × 6² + 1 × 6¹ + 4 × 6⁰ = 3 × 36 + 1 × 6 + 4 × 1 = 108 + 6 + 4 = 118₁₀

Тот же принцип работает в любой системе — двоичной, восьмеричной, тринадцатеричной, шестнадцатеричной. Например, шестнадцатеричное 2F₁₆​ разбирается так:

2 × 16¹ + 15 × 16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀

Важно помнить только один нюанс: если алфавит системы включает буквы (как в шестнадцатеричной), каждая буква соответствует числовому значению: A — это 10, B — это 11 и так далее до F (15). В остальном процесс всегда одинаковый: определить основание, раскрыть разряды, сложить полученные величины.

Читайте также:

Как делать домашнее задание быстрее и эффективнее

Правила перевода чисел в шестнадцатеричную систему счисления

Шестнадцатеричная система удобна тем, что каждая её цифра соответствует четырём двоичным разрядам. Поэтому перевод в шестнадцатеричную систему обычно проходит двумя путями: через десятичную форму или напрямую через двоичную запись. 

Перевод через десятичную систему

Этот способ подходит для чисел из любых систем счисления, независимо от основания. Алгоритм тот же, что и при переводе в двоичную, только делим на 16.

1. Сначала переводим исходное число в десятичную систему.
2. Затем делим полученное десятичное число на 16, фиксируя остатки.
3. Остатки записываем в обратном порядке — от последнего к первому.
4. Если остаток от 10 до 15, заменяем его буквами A–F.

Например, переведём 214₈ в шестнадцатеричную систему.
Сначала в десятичную:

2 × 8² + 1 × 8¹ + 4 × 8⁰ = 128 + 8 + 4 = 140₁₀

Теперь делим 140 на 16:

140 ÷ 16 = 8, остаток 12

12 соответствует букве C. Запись получается:

8C₁₆

Прямой перевод через двоичную систему

Этот способ особенно удобен, если исходная система — двоичная или восьмеричная.

Смысл в том, что каждые четыре бита образуют одну шестнадцатеричную цифру. Поэтому достаточно перевести число в двоичную форму, разделить её на группы по четыре бита и заменить каждую группу соответствующей цифрой шестнадцатеричного алфавита.

10111110₂ → группируем по четыре бита: 1011 1110. 1011₂ = B, 1110₂ = E.
Получаем BE₁₆.

На практике этот метод самый быстрый, потому что не требует промежуточных вычислений.

При переводе в шестнадцатеричную систему важно помнить несколько особенностей. Шестнадцатеричная запись почти всегда короче двоичной, потому что каждые четыре бита складываются в один символ — это естественное следствие того, что основание равно 16. 

Цифры от 10 до 15 в такой системе записываются буквами A–F, чтобы удобно различать значения. Если двоичная запись числа не делится на группы по четыре бита, к началу просто добавляют нули — это нужно для выравнивания и не меняет само число.

Бесплатное руководство: как перейти на семейное образование

Рассказываем, как забрать документы из обычной школы и перейти на домашнее обучение с онлайн‑аттестацией

Хочу получить через

Телеграм-бот

Почту

Получить в Телеграм-боте Загрузка...

Принимаю условия соглашения и даю согласие на обработку своих персональных данных на условиях политики конфиденциальности

Готово

Забирай руководство по теме «Как перейти на семейное образование» в нашем телеграм-боте

Открыть Telegram Загрузка...

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления

Перевод из десятичной системы в двоичную основан на простом принципе: число последовательно делят на 2 и фиксируют остатки. Это один из самых наглядных способов увидеть, как десятичное число раскладывается на степени двойки. Такой метод всегда даёт точный результат и одинаково работает для любых целых чисел.

Алгоритм выглядит так: делим десятичное число на 2, записываем остаток (он всегда либо 0, либо 1), затем снова делим результат на 2, пока не получим ноль. Двоичное представление формируется в обратном порядке — от последнего остатка к первому.

Например, переведём 42₁₀ в двоичную систему:
42 ÷ 2 = 21, остаток 0;
21 ÷ 2 = 10, остаток 1;
10 ÷ 2 = 5, остаток 0;
5 ÷ 2 = 2, остаток 1;
2 ÷ 2 = 1, остаток 0;
1 ÷ 2 = 0, остаток 1.

Если выписать остатки снизу вверх, получится 101010₂. Это и есть двоичная форма числа 42.

Важно помнить: чем больше десятичное число, тем длиннее будет его двоичное представление. Это естественно, потому что основание двоичной системы меньше и для записи того же значения требуется больше разрядов.

Читайте также:

6 способов конспектирования

Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему устроен так же, как и перевод в двоичную, только вместо деления на 2 используется деление на 16. Идея проста: мы постепенно «вынимаем» из числа шестнадцатеричные разряды, начиная с младшего, а затем записываем их в обратном порядке.

Алгоритм выглядит так: число делится на 16, фиксируется остаток, потом результат снова делится на 16 — и так до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки образуют шестнадцатеричное число, только читать их нужно снизу вверх. Если остаток оказывается между 10 и 15, он заменяется буквами A–F — это стандартные обозначения шестнадцатеричных цифр.

Для наглядности разберём короткий пример. Пусть нужно перевести число 250₁₀. Делим его на 16:

250 ÷ 16 = 15, остаток 10

Остаток 10 — это шестнадцатеричная A, а частное 15 — это F.

Так как на следующем шаге частное уже меньше 16, оно само становится старшим разрядом. Если выписать разряды по порядку, получится FA₁₆. Благодаря тому, что шестнадцатеричная система опирается на большие разряды, итоговая запись получается значительно короче десятичной — в этом и заключается её удобство при работе с большими числами и машинными данными.

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевод из двоичной системы в восьмеричную — один из самых простых, потому что основание восьмеричной системы (8) равно 23. Это означает, что каждые три бита двоичной записи образуют ровно одну восьмеричную цифру. Никаких промежуточных вычислений в десятичной системе не требуется — достаточно сгруппировать разряды и заменить каждую тройку её восьмеричным значением.

Чтобы выполнить такой перевод, двоичное число разбивают на блоки по три бита, начиная справа, от младших разрядов. Если в старшем блоке не хватает разрядов, слева добавляют нули — это не изменяет значение числа, а только выравнивает запись. После этого каждая тройка битов переводится в число от 0 до 7: 000 соответствует 0, 001 — 1, 010 — 2 и так далее до 111, что даёт 7.

Короткий пример покажет, как это работает. Допустим, нужно перевести число 110101₂.Разобьём его справа налево: 110 101.

110₂ — это 6;

101₂ — это 5.

Значит, результат — 65₈.

За счёт такого соответствия по три бита на один разряд восьмеричная система долгое время была удобна для низкоуровневого программирования: она делает длинные двоичные последовательности компактными, но сохраняет прямую читаемую связь с битами.

Читайте также:

Скорочтение: 6 приёмов для быстрого чтения и запоминания прочитанного

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную устроен так же просто, как и перевод в восьмеричную, только здесь двоичная запись группируется не по три, а по четыре бита. Это связано с основанием шестнадцатеричной системы: 16 = 2⁴, поэтому каждая тетрада (группа из четырёх битов) точно соответствует одной шестнадцатеричной цифре — от 0 до 9 или от A до F. Никакого обращения к десятичной системе при этом не требуется: достаточно правильно разбить число на группы.

Процедура всегда одинакова. Двоичную запись делят на блоки по четыре разряда, начиная справа, от младшего бита. Если в старшем блоке не хватает символов, слева добавляют нули — это лишь выравнивание, оно не меняет числового значения. После разбиения каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатеричной цифрой: 0000₂ даёт 0₁₆, 1001₂ превращается в 9₁₆, 1010₂ — в A₁₆, 1111₂ — в F₁₆ и так далее.

Допустим, перед нами число 101101011₂. Сначала выровняем его слева и разобьём на группы: 0010 1101 0111. Теперь переводим каждую тетраду:

0010₂ → 2

1101₂ → D

0111₂ → 7

Запись в шестнадцатеричной системе получится такой:

2D7₁₆

Благодаря этому соответствию двоичной и шестнадцатеричной записи шестнадцатеричная система стала стандартом в программировании: она позволяет представить большие битовые последовательности компактно, но без потери связи с исходными данными.

Таблица перевода систем счисления

Когда нужно быстро сравнить, как одно и то же число выглядит в разных системах счисления, удобнее всего опираться на небольшую таблицу. Она показывает, как меняется запись при переходе между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами — самыми распространёнными позиционными системами, с которыми чаще всего работают в программировании и математике. В таблице используются только базовые примеры, но по ним легко понять общую логику: при уменьшении основания запись удлиняется, а при увеличении — сокращается.

Эти соответствия можно использовать как опорные точки при ручном переводе чисел. Если нужно преобразовать более длинные значения, принцип остаётся тем же: двоичные записи группируются по три бита для восьмеричной системы и по четыре — для шестнадцатеричной, а при переходе в десятичную используется разложение числа по степеням основания.