Возведение числа в степень

Что такое степень числа

Степень — это многократное умножение числа на само себя.

Вот что нужно запомнить:

• то, как называется число, возводимое в степень, — основание;
• то, сколько раз нужно умножить на себя основание, — показатель.

Это легко представить в виде равенства:

xⁿ = x * x…* x (n раз)

Основание x нужно умножить на себя же n раз.

Такое умножение кажется простым, если показатель — это целое и небольшое число, например 2 или 3. Но показатель может быть дробью, а основание — выражением или комплексным числом. Чтобы находить правильный результат в таких случаях, важно понимать свойства основных видов степеней.

Бесплатно

Кто крыса в треугольнике: 5 мнемотехник, чтобы запомнить сложные школьные правила

Возведение в натуральную степень

Натуральной называют степень, показатель которой — это положительное и целое число.

Чтобы выполнить вычисления, основание умножают на себя столько раз, сколько указывается в показателе. Если основание и показатель небольшие, посчитать можно и вручную или в уме, однако чаще нужны громоздкие вычисления. Самый простой путь — выполнить подсчёты с помощью калькулятора.

Как возвести число в степень на калькуляторе:

• первым вводят основание;
• затем находят кнопку с обозначением x^y или ^ и нажимают её;
• дальше вводят показатель и нажимают «=», чтобы получить результат.

Если пользоваться калькулятором нельзя, можно упростить вычисления с помощью специальных алгоритмов. Они используют правила возведения числа в степень и помогают быстро выполнять расчёты.

Пример:

x^a*b = (x^a)^b

Если нужно вычислить 3⁴, то, согласно этому свойству, показатель 4 можно представить как 2 * 2. Получится 3⁴ = 3^2*2 = (3²)² = 9² = 81, то есть достаточно двух операций умножения вместо трёх.

Ещё один способ упростить вычисления основан на этом свойстве:

x^a+b = x^a  * x^b

Показатель можно разложить на сумму чисел. Например, 3⁵ = 3²⁺³ = 3² * 3³ = 9 * 27 = 243. Такой приём помогает упростить вычисления и выполнять их без калькулятора.

Читайте также:

Как готовиться к олимпиадам по математике

Таблица натуральных степеней

Существует таблица с готовыми значениями для оснований и показателей в пределах 10.

Используйте таблицу как справочное пособие, чтобы упростить вычисления во всех случаях, когда основание и показатель равны числу от 1 до 10. Например, если нам нужно найти (5y⁾³, то можно сразу возвести в куб число и упростить таким образом выражение: (5^y)³ = 5³ * y³ = 125y³.

Читайте также:

Математическое мышление: в чём польза и как развить

Возведение числа в дробную степень

Особенность дробной степени в том, что её показатель — дробь, а не целое число. Это может показаться нелогичным, ведь трудно представить, как можно выполнить умножение не целое число раз. Задача упростится, если вспомнить, что обратная операция для возведения в степень — это извлечение корня.

Записать выражение с корнем можно не только, как y√x, но и как x^1/y, и это используют при вычислениях. Главное — запомнить, куда из выражения переходит основание и куда — показатель.

У выражения x^m/y три элемента:

• основание (x);
• числитель дроби, стоящей в показателе степени (m);
• знаменатель дроби, стоящей в показателе степени (y).

Для более простых вычислений представьте x^m/y в виде корня: (y√x)^m. Например, если нужно посчитать 27^2/3, выражение представляют как корень и затем выполняют вычисления: (3√27)² = 3² = 9.

Если в показателе стоит десятичная дробь или смешанное число, сначала нужно привести их к виду обыкновенной дроби. Например, из десятичной дроби 0,2 получится 2/10, или, если упростить, 1/5. Теперь числитель и знаменатель ясно видны, а вычисления упростятся.

Когда в показателе стоит дробь, основание не может быть отрицательным числом, иначе после преобразования в корень можно получить лишённое смысла выражение. Для дробного показателя действуют обычные для всех дробей правила, и это значит, что знаменатель не может равняться нулю.

Бесплатный доступ к занятиям в Домашней школе

Вы получите записи уроков по нескольким предметам, познакомитесь с учителями и попробуете решить домашнее задание

Начать бесплатно Загрузка...

Возведение отрицательного числа в степень

Когда основанием оказывается отрицательное число, учитывают дополнительное правило:

• когда показатель чётный, результат будет положительным;
• когда показатель нечётный, результат отрицательный.

Это легко запомнить: два минуса «нейтрализуют» друг друга, и поэтому для чётных показателей результат всегда оказывается со знаком «плюс».

 Если показатель нечётный, один из минусов сохраняется и делает результат отрицательным.

Получить степень отрицательного числа можно, только когда показатель — целое число. Если он дробный, то основание не может быть отрицательным.

В остальном правила не изменяются: основание многократно умножают на себя, повторяя операцию умножения столько раз, сколько указано в показателе.

Читайте также:

Как эффективно запоминать информацию и ничего не забывать

Возведение числа в отрицательную степень

Для случаев, когда показатель отрицательный, нужно проводить вычисления в следующем порядке:

• основание превращают в дробь — его помещают в знаменатель, а в качестве числителя записывают единицу: x превращается в 1/x;
• показатель становится положительным;
• далее подсчёты выполняются отдельно для числителя и знаменателя.

Если кратко, получается следующее равенство:

x^-y = 1/x^y

Основание x не должно быть равно нулю, а показатель y может быть только целым числом, но не дробью.

У некоторых действий с выражениями в отрицательной степени будут особенности:

• Если основания одинаковые и нужно умножить числа, то достаточно сложить показатели: x^-m * x^-n = x^-m+(-n).
• При делении одного числа в степени на другое в той же степени нужно из показателя знаменателя вычесть показатель числителя: x^-m/x^-n = x^-m-(-n). Основания должны быть одинаковыми.
• Если в основании дробь, вычисления выполняют отдельно и для её числителя, и для знаменателя: (x/y)^-m = x^-m/y^-m. Можно упростить такое выражение: (x/y)^-m = (y/x)^m — показатель стал положительным, потому что мы перевернули дробь.
• Чтобы возвести в отрицательную степень произведение, вычисления выполняют для каждого из множителей отдельно: (x * y)^-m = x^-m * y^-m.
• Если нужно возвести степень в степень, показатели умножают: (x^-m)^-n = x^-m*(-n).

Показатель не может быть равен нулю в случаях, когда основание — это отрицательное число, так как при преобразовании получится дробь с нулём в знаменателе.

Возведение числа в нулевую степень

Если в показателе ноль, любое выражение или число всегда равняется единице: x⁰ = 1.

Исключением считают случаи, когда ноль стоит и в основании. Выполнить вычисления не удастся из-за того, что результат получается лишённым смысла.

Есть два простых способа объяснить, как работает это правило и почему результат всегда равен единице.

Существует правило, согласно которому при делении степеней с одним и тем же основанием один показатель вычитают из другого: x^m/xⁿ = x^m-n. Ноль при таком вычитании получится, если m = n. Это значит, что делитель и делимое в выражении — одно и то же число. Когда мы делим число на себя, получается единица.

Другой вариант — использовать умножение степеней. Для таких вычислений показатели складывают: x^m * xⁿ = x^m+n. Если показатель n принять равным нулю, то x^m * xⁿ = x^m. Согласно этому равенству, xn в произведении не изменяет x^m. Это значит, что xⁿ может быть равным только единице.

Бесплатное руководство: как перейти на семейное образование

Рассказываем, как забрать документы из обычной школы и перейти на домашнее обучение с онлайн‑аттестацией

Хочу получить через

Телеграм-бот

Почту

Получить в Телеграм-боте Загрузка...

Принимаю условия соглашения и даю согласие на обработку своих персональных данных на условиях политики конфиденциальности

Готово

Забирай руководство по теме «Как перейти на семейное образование» в нашем телеграм-боте

Открыть Telegram Загрузка...

Возведение комплексного числа в степень

Решение задач по профильной или углублённой математике может потребовать вычислений с комплексными числами. Их записывают в виде:

a + bi, где

a — действительное число;
b — коэффициент;
i — мнимая единица.

Мнимой единицей называют число, при возведении которого в квадрат получается –1. В обычной арифметике это не имело бы смысла, но использование мнимой части i позволяет работать даже с такими числами и вычислениями, которые находятся за её пределами. Например, это используют, чтобы проще описывать волны и колебания, а ещё в таких задачах, которые не решаются с помощью только действительных чисел, например если нужно найти квадратный корень из –1.

Если мы записываем комплексное число как a + bi, то получаем его алгебраическую форму. Кроме того, форма может быть показательной и тригонометрической. Тригонометрическая форма используется, например, при возведении в степень с помощью формулы Муавра.

Тригонометрическая форма записывается как r(cosφ + isinφ), где r — это модуль, а φ — аргумент. Для перехода к тригонометрической форме нужно вычислить модуль и аргумент:

r = √a² + b²

φ = arctg(b/a)

Следующий этап — применение формулы Муавра:

xⁿ = rⁿ(cos(nφ) + isin(nφ))

Когда комплексное число возводится в квадрат или в куб, иногда проще перемножить между собой его составляющие, используя правило умножения многочленов. То есть при возведении в квадрат можно выполнить следующие вычисления: 

• x² = (a + bi)² = (a + bi)(a+bi) = a * a + a * bi + bi * a + bi * bi. 

Часто сделать это бывает проще, чем переводить комплексное число в тригонометрическую форму.

Читайте также:

Как подготовиться и сдать аттестацию по математике

Свойства степеней: таблица

У натуральных степеней есть несколько основных свойств, которые помогают упростить вычисления.

Свойство умножения устанавливает: если основания одинаковые, то для того, чтобы получить произведение, достаточно сложить их показатели. Основание остаётся прежним.

Вот пример, как работает это правило:

• 3² * 3³ = (3 * 3)(3 * 3 * 3) — один и тот же множитель повторяется 5 раз, и можно записать выражение как 3²⁺³ = 3⁵.

При делении степеней с одинаковым основанием свойство работает наоборот. Нужно вычесть из показателя делимого числа показатель делителя, не изменяя основание.

Вот пример, как работает это правило:

• 3⁴/3² = (3 * 3 * 3 * 3)/(3 * 3) — получившуюся дробь можно сократить, и останется 3 * 3, что можно записать как 3².

Если нужно возвести степень в степень, можно перемножить показатели между собой при условии, что основание одинаковое. Это упрощает вычисления в случаях, когда нужно много раз возводить числа в степени.

Вот пример, как работает это правило:

• (3⁴)² = (3 * 3 * 3 * 3)(3 * 3 * 3 * 3) — один и тот же множитель здесь повторяется дважды по 4 раза, то есть 4 * 2, или 8, и, значит, выражение можно записать как 3^4*2 = 3⁸.

Если нужно возвести в одну и ту же степень разные множители одного произведения, то вычисления для каждого из них можно выполнять отдельно. В математических задачах это помогает упрощать выражения.

Вот пример, как работает это правило:

(4 * 3)³ = (4 * 3)(4 * 3)(4 * 3) — каждый из множителей первого произведения повторяется 3 раза, и, значит, выражение можно записать как 4³ * 3³.

Частное возводится в степень по похожему принципу. Если основания разные, а показатель одинаковый, можно отдельно выполнить подсчёты для числителя и знаменателя.

Вот пример, как работает это правило:

• (3/4)³ = (3/4)(3/4)(3/4) = (3 * 3 * 3)/(4 * 4 * 4), и это можно записать как 3³/4³.

Эти правила работают не только для натуральных показателей, но и для всех остальных видов — для отрицательных, дробных и даже иррациональных.

При умножении и делении дробных степеней находят, соответственно, сумму или разность их показателей — так же, как если бы они были целыми числами. Особенность в том, что дроби, которые получились после сложения или вычитания, нужно привести к общему знаменателю. Это важно сделать, чтобы выполнить вычисления после преобразования в выражение с корнем.

Если степень отрицательная, основные свойства не изменяются, но важно не забывать о знаках «–» при вычислении показателей, если выполняется умножение или деление. Например, в выражении может быть x^-2+(-4)-(+6), и надо следить, как меняется знак у каждого показателя, чтобы сумма или разность получились верными. Если нужно основание — дробь, а показатель отрицательный, то можно поменять знаменатель и числитель местами, после чего показатель станет положительным: (x/y)^-m = (y/x)^m.

При возведении в степень отрицательных чисел важно помнить о том, что показатель может быть только целым числом. Знак основания будет меняться на положительный, если показатель чётный.

Зная, как правильно возводить числа в степени, и понимая их свойства, можно быстрее и проще выполнять даже сложные вычисления. Чтобы дополнительно упростить такие математические задачи, сохраните таблицы натуральных степеней и их свойств из этой статьи.